La crue centennale prise la main dans le sac !

Qu'est ce qu'une crue centennale ?

Une crue centennale est une crue qui a 1 chance sur 100 d’être dépassée tous les ans. Mais attention, cela ne veut pas dire qu’elle arrive tous les 100 ans ! Une crue centennale peut arriver 2 fois en 100 ans, comme 0 fois en 200 ans. Par contre, si l’on regarde sur plusieurs milliers d’années, cette crue a une fréquence d’apparition moyenne de 100 ans. Doit-on s’en inquiéter ? Doit-on regarder des crues plus faibles ? Pourquoi parle t-on de 100 ans alors qu’elle n’arrive pas forcément tous les 100 ans ? Cet article essaie de décoder cette notion statistique en utilisant un sac de billes ! Il a été rédigé en collaboration avec Christine Poulard, qui travaille à INRAE.

La crue centennale la main dans le sac

La crue centennale fait maintenant partie du vocabulaire courant, mais attention, elle cache des choses…

Avec quelques billes et des petites animations, nous allons répondre à deux questions :

Si ma maison est inondée en moyenne une fois tous les cinquante ans… est-ce qu’elle ne sera inondée que par des crues “cinquantennales” ?
Si j’habite pendant vingt-cinq ans à cet endroit, est-ce que j’ai une chance sur deux d’être inondé un jour ?

Pour en savoir plus sur les probabilités des inondations (par débordement de cours d’eau, ou par ruissellement) , vous trouverez sur ce site plus de détails sur le “sac de crues”. Il y a également des petits codes de démonstration téléchargeables (en Python et javascript).

L’aléa inondation

Première étape : lire l’avenir dans les cartes… d’aléa inondation

… et comprendre ce qu’est une crue centennale et ses comparses moins célèbres : la décennale, la cinquantennale…

L’aléa est un phénomène… aléatoire. On ne sait pas à quelle date on sera inondés. Par contre, à partir de l’historique des débits des cours d’eau, les statistiques permettent d’estimer la probabilité d’être inondé.

La crue centenale est-elle celle qui “se produit en moyenne tous les cent ans” ? Comme dit en introduction, c’est une crue dont le débit (le volume d’eau qui passe chaque seconde dans une section de la rivière) est dépassé en moyenne une fois tous les 100 ans.

On peut l’exprimer encore autrement : “la période de retour de cette crue est de 100 ans”. Ou encore “une crue au moins aussi forte a 1 chance sur 100 de se produire une année donnée”. L’année prochaine par exemple.

Pour un débit donné, on peut calculer la zone inondée, qui est une information beaucoup plus parlante que le débit. Par exemple, on peut délimiter la zone inondée en moyenne tous les 10 ans, tous les 100 ans… Des cartes d’aléa inondations sont disponibles dans beaucoup de pays, et en particulier en France et en Europe.

La cartographie de l'aléa

Regardons une carte schématique, juste en dessous. Ma maison est dans la zone en vert moyen. La légende dit que c’est le royaume de la “crue centennale”. Vous auriez envie de répondre que l’emplacement est inondé une fois tous les cent ans. C’est tentant, mais… ce n’est pas exact.

La légende comporte trois “scénarios” : crue décennale, crue centennale et crue extrême – comme il est compliqué d’estimer des crues très rares, parfois la probabilité n’est pas précisée.

La maison sur la carte se situe au milieu de la zone intitulée crue centennale. Cela veut dire qu’une crue centennale l’impactera forcément, tout comme une crue plus forte, telle que la crue extrême. Mais la maison peut aussi être impactée par une crue moins forte, telle que la cinquantennale, dont la zone n’est pas tracée sur ce schéma. En effet, les zones affichées représentent la zone maximale inondée par la crue. A la limite extérieure de chaque zone, je suis inondé pile par la crue concernée. Par contre, au sein de la zone, je peux être inondé bien plus souvent.

A retenir : ce type de carte présente des emprises de zones inondées emboîtées, de la plus rare à la plus fréquente. La probabilité affichée dans la légende correspond à la limite extérieure de chaque zone. Au sein d’une zone comprise entre deux limites, la probabilité d’être inondé se situe quelque part entre les 2 valeurs de ces frontières.

Et avec un peu plus de détails ?

Pour mieux comprendre ce que cela signifie, traçons une coupe qui schématise l’information disponible, avec le cours d’eau, les limites des emprises des zones inondables et ma maison.

En bleu, les emprises des zones inondées, qui se recouvrent : l’emprise extrême comprend l’emprise centennale, qui comprend l’emprise décennale. Les nuances de vert correspondent à des zones entre deux frontières. Ainsi, ma maison qui est dans l’emprise vert moyen est dans l’emprise de la centennale, mais pas dans celle de la décennale : la période de retour d’inondation est comprise quelque part entre 10 et 100 ans. La précision de la carte ne me permet pas de connaître plus précisément sa période de retour d’inondation.

Comme ma maison est dans l’emprise de la crue centennale, elle est aussi dans toutes les emprises des crues plus fortes, telle que la crue extrême : ces épisodes sont plus rares, mais inonderaient ma maison avec une hauteur d’eau plus importante que la crue centennale. Sur cette carte, je n’ai pas d’information sur les profondeurs d’eau, mais il existe d’autres cartes qui me donneraient cette information.

Et sur un exemple concret ?

La zone d’expansion des crues sur Paris est affichée sur la gauche. En vert foncé, la crue décennale (10 ans), en vert moyen la crue centennale et en vert clair, la crue millénale (1000 ans). Petit aparté, vous pouvez retrouver une carte de tous les risques (inondations, argiles, séisme, pollution…) par ici.

Les zones d'expansion des crues

Deuxième étape du parcours…

On va supposer qu’une information plus précise donnée par ailleurs m’indique que ma maison est en fait inondée une fois tous les cinquante ans. Si je suis inondé en moyenne une fois tous les cinquante ans, est-ce que cela signifie que je serai inondé par une crue cinquantennale ?

Hélas non ! Ma maison est dans l’emprise des crues centennales… et aussi dans la zone des crues extrêmes ! Plus généralement ma maison sera inondée par toutes les crues supérieures à la cinquantennale... Et plus la crue sera forte, plus la hauteur d’eau autour de ma maison sera importante.

Par contre, les crues décennales ne m’atteindront pas, enfin une bonne nouvelle !

Ainsi, je constate que la crue centennale m’intéresse, mais c’est loin d’être la seule qui me concerne ! Et c’est là que le sac de billes entre en scène.

Le sac de billes

Si j’habite pendant vingt-cinq ans à cet endroit, est-ce que ça veut dire que j’ai une chance sur deux d’être inondé un jour ?

La question est compliquée, mais il y a un sac plein de billes qui peut nous aider.

Un débit peut prendre plein de valeurs différentes, il n’a aucune raison de tomber pile sur le débit centennal… Si une crue survient, elle est soit au-dessus, soit en-dessous du niveau de la crue centennale. Prenons l’exemple d’un sac de 100 billes.

Pour la crue centennale, il y a 1 chance sur 100 d’être au dessus chaque année, c’est la bille rouge.
Il y a 99 chances sur 100 d’être en-dessous chaque année… ce sont les 99 autres billes.

Tirer une bille rouge, c’est donc comme subir une année donnée une crue au moins centennale !

Mais pourquoi étudier seulement la crue centennale ? C’est une habitude ? un chiffre “rond” proche de l’espérance de vie humaine ? En fait, là où j’habite, les ennuis commencent avant ou après ce seuil, ça dépend de la topographie. Dans l’exemple pris, la maison est inondée à partir de la crue cinquantennale. On va donc compléter avec quelques billes bleues (crue cinquantennale) et vertes (crue décennale) pour nuancer.

La composition du sac

Pour les curieux qui voudraient vérifier la composition du sac, sur la droite :

90 billes noires pour les années où on reste en-dessous du niveau décennal (10% des billes sont au-dessus).
10 billes pour crues décennales ou plus, dont 2 sont supérieures à la cinquantennale, dont 1 est supérieure à la centennale… Ce qui donne 8 billes vertes, 1 bleue et 1 rouge.

Comme les nuances de vert sur les cartes, les couleurs des billes correspondent donc à des “classes” de valeur. Une bille verte représente une crue qui a une période de retour entre 10 et 50 ans.

Et maintenant, la main dans le sac, et on tire une bille !

Que me dira un seul tirage ? Je connais les probabilités de tirer chacune des billes. Une chance sur 100 qu’elle soit bleue, et une sur 100 qu’elle soit rouge. Ce qui fait 2 chances sur 100 d’avoir une crue au dessus de la cinquantennale.

A priori, je suis plutôt confiant. Une ou deux sur cent, ce n’est pas beaucoup. Le tirage présenté sur la droite montre les billes tirées de mon sac, sur 100 tirages. A chaque nouveau tirage, je note le résultat tiré, et je remets ensuite la bille dans le sac. Ainsi, on peut tirer plusieurs fois une bille bleue ou une bille rouge. Au bout de 100 tirages, on voit qu’on a tiré : 88 billes noires, 7 billes vertes, 3 billes bleues et 1 bille rouge. Cela veut donc dire que sur 100 ans, j’ai été impacté par 7 crues dont la période de retour est entre 10 et 50 ans, 3 dont la période de retour est entre 50 et 100 ans, et 1 dont la période de retour est supérieure à 100 ans.

Et si on tire plus d'une fois ?

Mais la probabilité qui m’intéresse, c’est plutôt celle d’être inondé un jour, pendant le temps où j’habite dans cette maison. Admettons que je compte rester 25 ans au même endroit.

Pour simuler 25 années d’aléa inondation, je vais tirer une bille de mon sac 25 fois.

Heureusement, un petit code peut m’aider, en simulant 25 tirages d’une bille en une fois.

Bien évidemment, le hasard intervient ! Dans la première figure (en bas à gauche), on a fait 10 essais (10 tirages de 25 billes). Parmi ces 10 essais, j’ai 8 essais sans bille rouge ni bleue… Par contre, mon 10e essai comprend 2 billes rouges !

Si je continue jusqu’à 40 essais (ce qui ferait 1000 ans, figure de droite), je compte en tout 14 bleues et 8 rouges. Et sur les 40, 16 essais comportent au moins une bille bleue, mais parmi ces 16, 5 en comptent deux.

J’ai donc trouvé 24 essais sur 40 sans crue, soit 60 %. Les mathématiques permettent de confirmer ce résultat :

Aucune crue : 60,35%
Exactement 1 crue : 30,79%
Exactement 2 crues : 7,54%

Si j’ai 60 % de chances de ne pas subir de crue, j’ai donc 40% de risque d’en subir une… au moins ! Parce que dans 8 % des cas, j’aurai 2 crues supérieures à la cinquantennale.

Voici un résultat de 100 essais de 100 tirages de bille, effectués avec l’application sacdecrue en Python.

Certains essais de tirages sont “calmes” et d’autres sont émaillés de beaucoup plus de crues fortes qu’imaginé… jusqu’à six crues en 100 ans ! Et pourtant, toutes sont issues du même sac !

Sur un très grand nombre de tirages, je vérifie que le nombre de billes tirées se rapproche du nombre théorique : on tirera en moyenne 1 fois sur 100 une bille rouge, 1 fois sur 100 une bleue, 8 fois sur 100 une verte… mais au passage on rencontre des tirages très différents !

Conclusion

Les notions de “crues de période de retour données” sont bien pratiques pour comprendre l”aléa d’inondation, mais elles cachent quelques pièges…

Si ma maison est dans l’emprise de la zone centennale, je serai inondé plus souvent, en moyenne, qu’une fois tous les 100 ans (à moins d’être juste à la limite extérieure). Si je suis, par exemple, inondé à partir de la crue cinquantennale, je serai inondé par toutes les crues au moins cinquantennales.

Nous avons suggéré de caractériser l’aléa sur plusieurs années, parce qu’il est important de prendre une décision sur le moyen terme.

Pour obtenir ce chiffre, on peut tirer des billes d’un sac beaucoup, beaucoup de fois, ou bien utiliser le code… mais les maths peuvent nous donner la réponse plus rapidement.

Ces notions vous intéressent ? N’hésitez pas à faire un tour sur le reste du blog.

Pour en savoir plus :

– Lien BNF pour les photos de la crue centennale de 1910 à Paris par ici

– Carte interactive avec les risques associés sur géorisques

– Un texte plus complet sur l’animation et les outils téléchargeables

– Des réflexions similaires sur la “crue centennale”, en anglais par ici et ici

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